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如果你擅长利用圆规和直尺创造各种神奇的图案，你会发现各种边为弧形的有趣图形。让我们看看弧形构成的简单几何形状吧。

图一：曲边三角由等边三角构成。通常，圆弧的形状主要由两条信息定义：圆的半径和圆弧角。我们可以找到圆弧中心与图形顶点存在有趣关系的其他弧边图形，比如图二中的三种图形。从图形顶点出发绘画新的圆弧，得到的图形与原始图形之间存在旋转或镜像关系。此外，原始图形中每段圆弧对应的的圆心同样位于新图形的顶点，因此不难看出这个绘制的过程是可逆的。

图二：存在“幻影”的三种形状新绘制的图形被称为原始图形的“幻影”，它是由原始图形顶点绘制的圆弧构成的，它与原始图形形状一致，但存在旋转或者镜像的关系。上面提到的曲边三角形是自参照的：它是自身的幻影。你可能觉得这些幻影跟随着原始形状虚无缥缈地存在着，就像一种幽灵般的存在。当数学家们遇到二维图形时，他们经常会问自己一个问题：类似于正方形瓷砖可以铺满整个广场，如果给你这个形状的瓷砖，你能用它来平铺整个平面吗？对于目前提到的这四种形状而言，答案是“不”，这几种形状都不能单独平铺一个完整的平面。用弧边图形铺满平面需要等量的凹面和凸面圆弧。接下来，让我们看看第五种形状，或者说一类形状。

图三：三曲线几何图形任意的三曲线都能周期性地平铺：将三曲线图形沿着某个方向平铺，就会得到如图四的形状。

图四：周期平铺如果构成三曲线的弧度的角度是 360° 的因数，而且弧线满足特殊的比例（比如 1:2:3 ），那么三曲线就会具有径向和非周期性质的平铺属性，这个性质非常有趣，你可以自制这个拼图进行尝试。

2图五：拼图每个三曲线都可以升序的三个弧角来形容，其中两个凹弧的和为大的凸弧的值。迄今为止制作的拼图多是用 30°-60°-90°（图五1）或 36°-72°-108° 弧度（图五2）的三曲线制成，当然还可以用其他角度或者比例的图。除了单面平铺之外，还可以用多种类型的方式平铺。

图六：一些三曲线的幻影为了确定或者可视化三曲线的幻影，只需要三曲线旋转半圈，再将连接两个凹面的那个顶点定位在原始大圆弧的中心。例如，对于任何具有 180° 大弧的三曲线，无论两个较小的弧线如何，幻影的中间顶点都位于半圆的中心。

图七：一些具有180°大弧的三曲线以及幻影对于一些对称的三曲线，幻影是原始形状旋转 180° 之后的样子，也是初始图像沿原始三曲线对称轴的镜像对称图案。

图八：一些对称的三曲线和其幻影。

图九：带有幻影的周期性平铺但是，仔细观察这个形状，会发现事情不是那么简单的。在图九中，你必须得仔细观察才能发现哪个幻影跟原始形状是搭配的。你会发现，除了整组原始三曲线发生了 180° 旋转之外，幻影位置还变了。如果将幻影位置逆旋转 180° 会发现这组排列位置变了。如果用不同大小的三曲线，这一现象会更加明显。在图十中，可以看出幻影不仅仅旋转了 180° ，而且位于彼此对立的两边，不再共享一条弧。

图十：转置的幻影这种怪异的行为也出现在径向的平铺中，对于图十一来说，星星或者花瓣形状的三曲线的幻影，是一个环形。

图十一：带有环形幻影的花型三曲线因此，当利用三曲线进行平铺时，其对应的幻影也以一种非直观的、转置的方式来平铺。仔细想想，当你将三曲线形状的材料进行平铺时，其对应的幻影也在一种奇怪的方式进行平铺，这件事让人感到毛骨悚然。用三曲线填充特定的形状会发生什么？

如果你擅长利用圆规和直尺创造各种神奇的图案，你会发现各种边为弧形的有趣图形。让我们看看弧形构成的简单几何形状吧。

图一：曲边三角由等边三角构成。通常，圆弧的形状主要由两条信息定义：圆的半径和圆弧角。我们可以找到圆弧中心与图形顶点存在有趣关系的其他弧边图形，比如图二中的三种图形。从图形顶点出发绘画新的圆弧，得到的图形与原始图形之间存在旋转或镜像关系。此外，原始图形中每段圆弧对应的的圆心同样位于新图形的顶点，因此不难看出这个绘制的过程是可逆的。

图十二：镜片的层次填充圆的方法有许多，而这里介绍一种普通的方法。首先用最大的三曲线来进行填充，然后向下寻找次一级最大的圆弧进行填充，以此类推，将“剩余镜片”留在下半部分的周边。然后，这些剩余镜片被逐渐变小的三曲线填充，直至变为无限的序列。这里列举四种方法，每种方法的介绍仅深入到一定的填充程度。方案 @ 是利用对称的方法填充，每一层的弧线都一分为二，如下图所示：第一个三曲线弧角为 90°-90°-180°，第二层是 45°-45°-90° ，第三层是 22.5°-22.5°-45° 。

图十三：@: 圆的对称填充或者，可以将三曲线最小的弧角保持为 22.5° ，利用从同一点出发的圆弧（图十四左），或者大的三曲线交错的形式（图十四右）来完成填充。

图十四：方案 € 和 C 。这两例都用了七个三曲线，只是排列方式不同，两种情况下顶部的三曲线都是 22.5°-157.5°-180° 。同时，以上三种填充方式，未填充的下半周的镜片数量和尺寸都相同，恰好是八个 22.5° 的镜片，这些镜片也最终会用无限的小的三曲线来进行填充。方案 D 是方案 € 的变体，只不过是用更细的三曲线进行的填充。刚开始，我们可以用 5° 的小角度（5°的小圆弧）来进行填充，最大的三曲线是 5°-175°-180° 。