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小明、小杰分别站在边长为12米的正方形道路ABCD的顶点D、C处，他们开始各以每秒1米和每秒米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走。[参见  上海教育出版社 《数学》六年级 第二学期（试用本）]

问题：

（1）经过多少秒，小明第一次（初始位置除外）到达点D处，且小杰第一次到达点C处？

【资料图】

（2）经过多少秒，小明第二次到回到D处，且同时小杰第二次到达点C处？有什么规律？

（3）经过多少秒，小明和小杰第一次都同时处在正方形的顶点处？ 这时他们分别处在哪两个字母表示的顶点处？

（4）经过多少秒，小明和小杰第一次都同时处在正方形的同一个顶点处？ 这个顶点的字母是什么？

（5）小明和小杰能同时出现在顶点D处吗？ 为什么？

（6）可能出现小明带D点而小杰能在顶点B处吗？ 为什么？

题目1）思路和过程分析：

为了分析方便，设正方形的周长为L，正方形边长为W，小明走的路程为S1，小杰走的路程为S2。据题意小明和小杰同时回到各自的出发点D，所以他们走过的路程是正方形周长的整数倍，其中

则小明走的路程S1为正方形的周长L的整数倍

当然小杰走的路程为正方形的周长L的整数倍

可以知道小明和小杰走过的路程的差值∆S肯定也是正方形周长L的整数倍【小明、小杰花费的时间T当然是相同的】，其中

解答：据以上分析，我们分析可列出式子

我们知道最小的正整数1，即n=1时经过T=240秒时，小明第一次同时小明回到D点，小杰同时也回到C点。

题目2）思路和过程分析：

解答：从1）解答可知，当秒时，此时小明回到D点，同时小杰第二次回到C点。

题目3）思路和过程分析：

应意识到这题和第1）题不同之处：

a)      本题是问何时小明和小杰各自同时处于正方形的某个顶点（A，B，C，D都有可能），意思是他们的路程差只需要是正方形边长（W=12米）的整数倍即可；

b)     而第1）题隐含的意思是各自回到各自的出发点（小明回到D点，小杰到C点），所以他们的路程差∆S=S2-S1是正方形周长（L=48米）的整数倍（设为n）；

解答：按a）的分析，我们可以列出式子

n为整数，因此当T=60秒时小明小杰同时在正方形的某个顶点，用如下办法找出这个顶点：

小明走的路程S1=1*T=60米，则S1/W=60/12=5，即小明走了5个边长，数一数知小明此时处于C点；

小杰走的路程S1=*T=72米，则S2/W=72/12=6，即小杰走了6个边长，数一数知小杰此时处于A点。

题目4）思路和过程分析：

据题小明和小杰相遇在同一顶点，又已知最初小明和小杰之间距离只差1个正方形边长W，如果要在某个时刻相遇（即经过一段时间行走后消除了这个差距），那么他们走过的路程的差值∆S=S2-S1肯定是满足正方形周长的整数倍减去1个边长W。

解答：小杰和小明走过的路程差

同时路程差∆S也满足关系

据分析可得如下等式

n必须取整数，可能取值为n=0,1,2,3,….，所以T的可能取值为

n=0不符题意，我们取n=1，则T=180秒时小明、小杰为第一次处于同一顶点，可验证这顶点为A点。

验证方法：小明走的路程S1=1*T=180米，而180/12=15，即小明走了15个边长，所以小明处于A点；小杰走的路程S1=*T=216米米，而216/12=18，即小杰走了18个边长，则此时小杰也是处于A点。

题目5）思路和过程分析：

解答：小明和小杰同时处于D点，考虑相同时间 各自走过的路程

a)      小明走过的路程是正方形周长的整数倍（设为n），即

b)    小杰出走过的路程S2正方形周长的整数倍（设为）加3个边长W，其中W=1/4*L，则可得

可以列出比例关系，从而消去L和T

为便于观察，我们把这个表达式进行变换，可把m表为n的表达式

4n+5是不可能被20整除的，因此小明和小杰是不可能同时处于D点的。

备注：很容易看出，无论取何整数值，4n+5永远是奇数，而20是偶数，所以4n+5是不可能被20整除的，因此m不可能取整数，即不可能找到一对正整数m、n使上述关系成立。

题目6）思路和过程分析：

解答：采用和5）题类似的方法：相同时间T，考虑相同时间各自走过的路程

a)  小明处于D点（回到出发点），意味着其走过的路程S1是正方形周长的整数倍（设为n），即

b)  小杰位于B点，意味着其走过的路程S2是正方形周长整数倍（设为m）加1个边长，即

可以列出如下比例关系消去L和T

因此小明在D点、小杰在B点是不可能同时出现的。

备注：可以看出，无论取何值4n-5总是奇数，而20是偶数，所以4n-5不能被20整除，则m不可能取整数。